ما هي الأعداد الأولية؟ – مدونة المناهج السعودية

admin32021-08-05

109 4 دقائق

جدول المحتويات

ما هي الأعداد الأولية؟

علم الرياضيات

يشتمل علم الرياضيات على دراسة العديد من المواضيع بما في ذلك الكمية كنظرية الأعداد، البُنية كالجبر، الفضاء كالهندسة والتغيير كالتحليل الرياضي؛ فعلم الرياضيات موجود في كل شيء محيط بالإنسان وفي كل ما يقوم به أيضًا، إذ يُعد حجر الأساس لكل شيء في الحياة اليومية بما في ذلك الأجهزة المحمولة، الهندسة بشكل عام والهندسة المعمارية بشكل خاص قديمة كانت أم حديثة، الفن، المال والرياضة، وجاءت الحاجة إلى الرياضيات بالاعتماد على احتياجات المجتمع؛ فكلما كان المجتمع أكثر تطورًا وتعقيدًا تزداد احتياجاته للرياضيات بشكل أكبر من غيره، فمثلًا كانت احتياجات القبائل البدائية أقل بكثير من القدرة على العد ولكنّها اعتمدت على الرياضيات لحساب موقع الشمس، وفي هذا المقال سيتم الإجابة عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟”

ما هي الأعداد الأولية

يواجه الكثير من الطلاب وفي جميع المراحل الدراسية سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟”، حيث تُعد هذه الأعداد أحد أهم المفاهيم في علم الرياضيات والتي يتوّجب على كل طالب فهمها ودراستها، والتي تُعرّف على أنّها أعداد صحيحة أكبر من العدد 1 أيّ أعداد موجبة، والتي تقبل القسمة فقط على العدد 1 وعلى العدد نفسه، وللإجابة بشكل مختصر عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟” فمن الممكن القول أنّها الأعداد التي يكون لها زوج من العوامل فقط وهما: العدد 1 والعدد نفسه، فعلى سبيل المثال العدد 2 يمكن الحصول عليه فقط عند ضرب العدد 1 مع العدد 2 لذلك له فقط زوج من العوامل وهما 1،2 كما يأتي: 1*2= 2 ، أيّ لا يوجد عاملين آخرين يمكن أنّ يتم ضربهما معًا للحصول على العدد 2، ومن أهم الأمثلة أيضًا على الأعداد الأولية هي العدد 3 فلا يُمكن الحصول عليه إلا إذا تم ضرب العددين 1 و3 مع بعضهما البعض، أيّ له أيضًا زوج من العوامل وهما العدد 3،1 كما يأتي:

1*3= 3

وكذلك الأمر فيما يتعلق بكل من الأعداد الأتية: 5،7،11،13،17،19،23،29،31،37،41،43،47،53،59،61،67،71،73،79،83،89،97،101،103،107،109،113 وغيرها الكثير، ومن الجدير ذكره أنّ دراسة الأعداد الأولية استمرت لآلاف السنين، حيث أثبت العالم إقليدس في كتابه العناصر والذي تم نشره تقريبًا سنة 300 قبل الميلاد العديد من النتائج فيما يتعلق بالأعداد الأولية، ووفقًا للعديد من الدراسات فقد تم اكتشاف أكبر عدد أولي حتى هذا اليوم وهو 1 – 57،885،161^2 والذي يتكوّن من 17،425،170 عددًا.

كيفية تحديد الأعداد الأولية

للإجابة عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟” بشكل عملي وواضح لا بدّ من استخدام العديد من الطرق التي تضمن الحصول على إجابة وافية وأكيدة، وفيما يأتي بعض الطرق التي يُمكن من خلالها تحديد ما إذا كان العدد أوليًا أم لا:

استخدام طريقة التحليل إلى العوامل

تُعد طريقة التحليل إلى العوامل من أسرع الطرق التي يستخدمها علماء الرياضيات لتحديد ما إذا كان العدد عدد أوليًا أم لا، وقبل استخدام هذه الطريقة من الضروري معرفة أنّ عوامل العدد هي أيّ عددين يُمكن ضربهما مع بعضهما البعض للحصول على هذا العدد، فعلى سبيل المثال عوامل العدد 10 هي 2 و5 لأنّه يمكن ضرب هذه الأعداد الصحيحة مع بعضها البعض والحصول على العدد 10، بالإضافة إلى ذلك يُعد أيضًا كل من العددين 1 و 10 عواملًا للعدد 10 لأنّ حاصل ضربهما أيضًا 10، أيّ أنّ العدد 10 لم يطبق شروط العدد الأولي وذلك لأنّ له زوجين من العوامل، كما أنّه يقبل القسمة أيضًا على عددين آخرين غير العدد 1 والعدد 10، أيّ عند الإجابة عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟” يتم دائمًا استثناء جميع الأعداد التي لها أكثر من زوج من العوامل.

كما يُمكن تحليل العدد إلى عوامله بطريقة الشجرة؛ فعلى سبيل المثال ولاختبار العدد 30 يتم أولًا تحديد عوامل العدد 30 وهما إمّا العددين 10* 3 أو 15* 2، أيّ يوجد حالتين ولكل منهما نفس النتيجة، إذ إنّ تحليل الحالة الأولى وهي 10* 3 يكون كما يأتي:

يتم أولًا تحليل العدد 10 على شكل 2 * 5 ، أمّا العدد 3 فليس له عوامل ليصبح بذلك الجواب 2* 5*3 والناتج هو 30.

أمّا تحليل الحالة الثانية وهي 15* 2 يكون كما يأتي: يتم أولًا تحليل العدد 15 إلى 5*3 أمّا العدد 2 ليس له عوامل، ليصبح بذلك الجواب 5*3*2 والناتج أيضًا 30.

استخدام الآلة الحاسبة

يُمكن أيضًا استخدام الآلة الحاسبة مع مراعاة مفهوم قابلية العدد للقسمة؛ وذلك للقدرة على تحديد ما إذا كان العدد أوليًا أم لا، حيث يتم إدخال العدد إلى الآلة الحاسبة وتقسيمه مع الأخذ بعين الاعتبار أنّ يكون الناتج عددًا صحيح، فعلى سبيل المثال لاختبار الرقم 57 يتم إدخاله إلى الآلة الحاسبة وقسمته مثلًا على العدد 2؛ إذ يكون الناتج 27.5 وهو ليس عددًا صحيحًا، لذلك فهو غير مقبول، حيث يتم مرة أخرى قسمة العدد 57 على العدد 3 مثلًا فسيكون الناتج عددًا صحيحًا وهو 19، وبالتالي فإنّ كلًا من العدد 3 و19 هما عوامل العدد 57 لذلك فإنّ العدد 57 غير أولي؛ وذلك لعدم استيفائه شروط الأعداد الأولية.

خصائص الأعداد الأولية

بعد الإجابة عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟” بات من الضروري الحديث عن خصائص هذه الأعداد؛ والتي تُعد اللبنات الأساسية للأعداد الصحيحة، حيث تُعد قدرة الحصول على عدد صحيح مميز كناتج من الأعداد الأولية هو السبب الرئيس وراء نظرية الأعداد بأكملها ووراء النتائج المثيرة للاهتمام في هذه النظرية، إذ تم صياغة العديد من النظريات والتطبيقات والتخمينات المهمة وذلك بالاعتماد على خصائص الأعداد الأولية،وفيما يأتي بعض هذه الخصائص:

يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، إذ يوجد 10 طرق مختلفة لإثبات هذه الحقيقة
إذا كان p عددًا أوليًا و a عددًا صحيحًا بالتالي سوف يقبل ناتج هذه المعادلة “a^p – a” القسمة على العدد p
يكون العدد p عددًا أوليًا إذا وفقط إذا كان 1x2x3x…..x(p – 1) +1 تقبل القسمة على العدد p
العدد الأولي الزوجي الوحيد هو العدد 2، وجميع الأعداد الزوجية المتبقية لا تُعد أعدادًا أولية؛ لأنّ جميعها تقبل القسمة على العدد 2
لا يوجد عدد أولي أكبر من العدد 5 ينتهي بالعدد 5، وذلك لأنّ أيّ عدد ينتهي بالعدد 5 يقبل القسمة على 5؛ وبالتالي لا يُعد عددًا أوليًا

أهمية الأعداد الأولية

يتبادر إلى ذهن الكثير من الطلاب وبعد حصولهم على الإجابة عن سؤال “ما هي الأعداد الأولية؟” الكثير من الأسئلة عن أهمية معرفة الأعداد الأولية ودراستهم لها؛ لذلك كان من الضروري الحديث عن أهميتها؛ إذ يتم استخدام هذه الأعداد في كثير من المجالات، كاستخدامها في تشفير البيانات، وذلك عن طريق ضرب عددين أوليين للحصول على عدد جديد أيّ عدد مركب والذي يسمى المفتاح العام، وبسبب كبر هذه الأرقام يُصبح من الصعب للغاية تحليل هذا العدد إلى عوامله الأولية مرة أخرى والتي تسمى المفتاح الخاص، والجدير ذكره هنا أنّ هذه الأعداد الناتجة هي أعداد كبيرة جدًا وليست أرقامًا صغيرة يمكن التعامل معها بشكل بسيط وإعادة تحليلها؛ فهذه هي الميزة ��لتي لجأ إليها الكثير من العلماء لاستغلالها في عملية التشفير أيّ من الصعب جدًا الوصول إلى المفتاح الخاص بسهولة من قبل أيّ شخص

كما يتم استخدام الأعداد الأولية في النظرية الرياضية للموسيقى بشكل كبير،الإلكترونيات،الحواسيب، معالجة المعلومات، بالإضافة إلى ذلك يوجد للأعداد الأولية تطبيقات على العديد من العمليات المشتركة في معالجة الإشارات، وتطبيقات علىميكانيكا الكموالفيزياء، فالأعداد الأولية منتشرة في الكثير من مناحي الحياة لدرجة أنّ لا يُوجد جانب من جوانب الحياة لا يتأثر بها.