طرق حساب مساحة الدائرة

admin32021-07-31

105 3 دقائق

جدول المحتويات

طرق حساب مساحة الدائرة

تُعدُّ الدائرة من الأشكال الهندسيّة، ويُمكن تعريف الدائرة على أنّها عبارة عن منحنى مغلق حيثُ تكون جميع نقاطه على بُعدٍ ثابتٍ من نقطة ثابتة تُسَّمى المركز، وتتكوّن الدائرة من عدة عناصر أساسيّة وأهمها؛ نصف القطر؛ وهي المسافة بين أي نقطة تقع على الدائرة والمركز في الدائرة ومن المعروف بأنَّ جميع أنصاف أقطار الدائرة متساوية ، القطر؛ وهو عبارة عن المسافة بين أي نقطتين تقعان على الدائرة مرورًا بمركز الدائرة، مركز الدائرة؛ وتكون متساوية في البعد عن جميع النقاط الواقعة على الدائرة، الوتر؛ وهو عبارة عن قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على الدائرة، ويُعدُّ قطر الدائرة أكبر وتر فيها، وفي هذا المقال سيتمُّ التعرف على طرق حساب مساحة الدائرة.

قانون مساحة الدائرة

قبل التعرّف على طرق حساب مساحة الدائرة لا بُدَّ من التعرف على قانون مساحة الدائرة، حيثُ تُعرَّفُ المساحة بشكلٍ عامٍ على أنها مقدار المساحة الداخليّة التي تشغله الأشكال الهندسيَّة ثنائيّة الأبعاد، وتُقاس بالوحدات المربعة، ويُمكن تعريف مساحة الدائرة على أنها المساحة الإجماليّة التي يحدها المحيط أو المسافة حول الدائرة، ويتطلب وجود صيغة لإيجاد مساحة الدائرة، وتُحسب من خلال ضرب مربع نصف قطر الدائرة في π، حيثُ توصلَّ علماء الرياضيات إلى هذه الصيغة من خلال تقسيم الدائرة إلى 12 جزءًا متساويةً في الحجم، وترقيمها من 1 إلى 13، ومن ثُمَّ تجميعها وترتيبها وتحويل هذه الأجزاء إلى مستطيل، حيثُ تمَّ استنتاج أنَّ طول المستطيل يُساوي قيمة نصف محيط الدائرة، وبينما العرض يُساوي طول نصف قطر الدائرة، فمن خلاله تمَّ اشتقاق قانون المساحة كما يأتي:

مساحة الدائرة = 2/1 × محيط الدائرة × نق.
وبتعويض قانون محيط الدائرة يُصبح القانون: مساحة الدائرة = 2/1 × ( 2 π × نق ) × نق.باختصار الرقم 2 فإنَّ مساحة الدائرة = π × نق²، حيثُ أنَّ:
- π: هو ثابت رياضي اكتشفهُ عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس، وهي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، وتُمثل قيمته حوالي 3.14.
- نق: هو نصف قطر الدائرة .

طرق حساب مساحة الدائرة

يوجد العديد من الطرق التي يتمُّ استخدامها في عملية احتساب مساحة الدائرة، وذلك اعتمادًا على المعطيات المتوفّرة في السؤال مثل؛ طول نصف القطر أو طول القطر، وكما تعتمد على النسبة بين محيط الدائرة وقطرها والتي تُعرف ب π، وتُعدُّ قيمة ثابتة لكل الدوائر وتُقدَّرُ قيمتها بما يُقارب 3.14 بالصورة العشريّة، أو ما يُقارب 22/7 بالصورة الكسرية، ومن طرق حساب مساحة الدائرة ما يأتي:

حساب المساحة بالاعتماد على نصف القطر

يُمكن حساب مساحة الدائرة إذا عُلِمَ طول نصف قطر الدائرة من خلال استخدام قانون المساحة الآتي: مساحة الدائرة = π × نق²، ويتمُّ الحصول على نتيجة الحساب بوحدة السنتيمتر مربع أو متر مربع وهكذا، مثال على ذلك؛ إيجاد حساب مساحة دائرة إذا كان نصف قطرها يُساوي 6 سم:

يتمُّ التعويض المباشر في القانون: مساحة الدائرة = π × (6) ².
ومنها مساحة الدائرة = 36 π سم².
أو بتعويض قيمة π: 3.14 × 36 .
ومنها مساحة الدائرة = 113.04 سم².

حساب المساحة بالاعتماد على القطر

ويُمكن أيضًا حساب المساحة بالاعتماد على قيمة القطر، حيثُ إنَّ طول القطر يُساوي ضعف طول نصف القطر، ومن خلال تقسيم طول القطر على العدد 2 يُمكن من إيجاد قيمة نصف القطر، وبذلك يتمُّ استخدام القانون الأساسي لحساب المساحة، مثال على ذلك: إيجاد حساب مساحة دائرة إذا كان طول قطرها 20 إنش:

يتمُّ إيجاد نصف القطر = ق / 2 ومنها:
- نق = 20 / 2 = 10 إنش.
التعويض في القانون: مساحة الدائرة = π × نق²
- مساحة الدائرة = π × (10) ²، ومنها مساحة الدائرة = 100 π إنش².

حساب مساحة الدائرة بالاعتماد على المحيط

يُعدُّ استخدام محيط الدائرة من الطرق المستخدمة أيضًا في عملية حساب مساحة الدائرة، وذلك من خلال استخدام قانون المحيط مباشرةً دون الحاجة لمعرفة طول نصف القطر، حيثُ إنَّ قانون محيط الدائرة = π × ق، ويُمكن اشتقاق قانون حساب المساحة اعتمادًا على المحيط من خلال الخطوات الآتية:

طول القطر يُساوي ضعف طول نصف القطر، أي أنَّ: ق = 2 نق.
يتم تعويض قيمة القطر في قانون المحيط كما يلي: محيط الدائرة = π × 2 نق.
بتقسيم طرفي المعادلة على 2 π، ينتج عنها: نق = محيط الدائرة / 2 π.
يتمُّ تعويض قيمة نق في قانون مساحة الدائرة: مساحة الدائرة = π × نق²، ومنها مساحة الدائرة = π × (محيط الدائرة / 2 π) ².
بتربيع الكسر تُصبح مساحة الدائرة = π × (محيط الدائرة² / 4 π²).
اختصار π من البسط والمقام، ومنها مساحة الدائرة = محيط الدائرة² / 4 π.
مثال: إيجاد مساحة الدائرة إذا كان محيط الدائرة يُساوي 42 سم:
- الحل: مساحة الدائرة = محيط الدائرة² / 4 π، ومنها مساحة الدائرة = (42) ² / 4 π.
- مساحة الدائرة = 1764 / 4 π، إذن مساحة الدائرة = 441 / π سم².